三轮提取 · 金融 第7—9章

( 一 )金融资产的收益与衡量

金融资产，无论是债券、股票，还是基金，给持有者带来的收益主要有两类：利息、股息与红利等现金流收益和资产买卖价差收益，其中，买卖价差收益也称资本利得。金融资产收益的不同也直接决定了金融资产价格的差异。为使不同金融资产的收益情况具有可比性，收益率成为最常见的衡量指标，该指标是金融资产收益与购买金融资产现值之比，一个简化的收益率计算公式为：

r = [C + (P₁ - P₀)] ÷ P₀　（7-1）

其中，r 为收益率，C 为金融资产的现金流收益，P₀ 为资产的期初价格，P₁ 为资产的期末价格。需要注意的是，在公式（7-1）中隐含着一个十分重要的假定，即在持有期期末支付现金流收益,如果没有这个假定,那么这个公式就忽略了从现金流收益支付日到持有期期末这段时间的再投资收益。

很多投资者还可能长期持有某一金融资产。在这种情况下 ,为了让收益率能够在相同期限下具有可比性,常见的处理方法主要有三种。使用三种方法,分别得到基于算术平均法计算的收益率、基于几何平均法计算的收益率以及资金加权平均收益率。其中,基于算术平均法计算的收益率是年度收益率的算术平均值; 基于几何平均法计算的收益率是年度收益率的几何平均值,该收益率又称为时间加权平均收益率; 资金加权平均收益率是把投资的现金流看作公司财务中的资本预算来计算得出的内部收益率。接下来通过某基金案例( 见表 7-1 )来分别讲述三种收益率的计算方式。

表7-1 某基金案例 单位: 亿元项目 第 1 年 第 2年 第 3 年 第4年期初资产总额 1 1.2 2.0 0.8持有期收益率 10% 25% -20% 20%净现金流入前的总资产 1.1 1.5 1.6 0.96净现金流入 0.1 0.5 -0.8 0.6期末管理资产总额 1.2 2.0 0.8 1.56

基于每一年的收益率，算术平均法计算的收益率为（10% + 25% - 20% + 20%）÷ 4 = 8.75%。几何平均法计算的时间加权平均收益率 r_G 为 7.19%［计算公式见（7-2）］。在计算资金加权平均收益率 IRR 时，需先厘清投资的净现金流，其中，第 0 年（第 1 年年初）的现金流为 -1 亿元，

第 1 年投资经理需要将投资者申购的 0.1 亿元进行投资,因此,现金流为 -0.1 亿元,同理,第2年和第 3 年的现金流分别为 -0.5 亿元和 0.8 亿元,第 4年的现金流包括投资者申购部分和清仓获得资金 ( 期末管理资产总额 ),合计为 1.56-0.6=0.96( 亿元 )。基于计算公式(7-3 )得到的资金加权平均收益率为 3.38%。

(1 + r_G)⁴ = (1 + 0.1) × (1 + 0.25) × (1 - 0.2) × (1 + 0.2)　（7-2）

0 = -1.0 - 0.1/(1 + IRR) - 0.5/(1 + IRR)² + 0.8/(1 + IRR)³ + 0.96/(1 + IRR)⁴　（7-3）对于不同到期期限的金融资产,或投资者的持有周期不一样的情形而言,为让各自收益率能够避免期限的影响而具有可比性,年化利率成为一个常用的指标。2021 年3月31日,中国人民银行发布公告 ,明确指出“所有从事贷款业务的机构 ,在网站 .移动端应用程序 .宣传海报等渠道进行营销时,应当以明显的方式向借款人展示年化利率"。年化利率的计算方式有两种,分别是单利方法和复利方法,单利方法和复利方法计算的年化利率分别见公式(7-4 ) 和公式(7-5 )。单利方法计算的年化利率 = 每个时间段利率 × 每年包含的时间段个数　（7-4）

1 + 复利方法计算的年化利率 =（1 + 每个时间段利率）^每年包含的时间段个数　（7-5）以某按季度支付利息的债券为例,季度利率为 1%,单利方法计算的年化利率为直接用此时间段的利率乘以每年所包含的时间段的个数，即 1% × 4 = 4%。虽然单利方法较为简单，但是忽略了各时间段的再投资收益，因此，更加科学的做法是采用复利方法，即（1 + 1%）⁴ - 1 ≈4.06%。中国人民银行 2021 年 3 月 31 日的公告指出“贷款年化利率可采用复利或单利方法计算”。( 二 )通货膨胀率与实际收益率当商品的价格发生变化时,需要区分名义收益率和实际收益率。其中,名义收益率是指包含物价变动因素的利率；实际收益率是指剔除通货膨胀或通货紧缩的利率。例如, 2022 年用1 万元购买了一份利率为 10% 的 1 年期企业债券,这里的 10% 就是名义收益率。什么是实际收益率? 举一个具体的案例,假设 2022 年猪肉价格为 20 元/斤,2023 年涨至21元/斤,对应的通货膨胀率为 5%。基于此实际情景再来考虑这笔投资带来的实际购买力变化, 2022 年,按照20元/斤的价格 1 万元可购买 500 斤猪肉, 2023 年,按照21元/斤的价格 1.1 万元可购买 523.81 斤猪肉,因此,从实际购买力的角度来看,这笔投资的实际收益率为（523.81 - 500）÷ 500 ≈ 4.76%。基于上述案例的逻辑，假设通货膨胀率为 i，名义收益率为 r_nom，实际收益率为 r_real，那么名义收益率和实际收益率存在以下等式关系:

1 + r_real = (1 + r_nom) ÷ (1 + i)　（7-6）根据公式（7-6），可以解出实际收益率为：r_real = (r_nom - i) ÷ (1 + i)　（7-7）通常在通货膨胀较为稳定的情形下，公式（7-7）也可近似为：r_real ≈ r_nom - i　（7-8）

基于公式（7-7）计算出来的实际收益率称为精确的实际收益率，基于公式（7-8）计算出来的实际收益率称为近似的实际收益率。

(一 )风险的衡量

在金融市场中，风险是指收益的不确定性。统计学中的方差 Var(R) 和标准差 SD(R) 作为衡量随机变量的不确定性的指标,常被用于刻画金融市场的风险,方差和标准差的公式分别见公式（7-9）和公式（7-10）。其中，Pᵢ 是收益率为 Rᵢ 时的概率，E(R) 为金融资产的期望收益率（也称预期收益率），N 为样本事件的个数。方差和标准差衡量了收益率与期望收益率之间的偏离情况, 当值越大时,偏离期望收益率的幅度越大,表明对应金融资产的风险越大。

Var(R) = Σᵢ₌₁ᴺ Pᵢ × [Rᵢ - E(R)]²　（7-9）

SD(R) = √{Σᵢ₌₁ᴺ Pᵢ × [Rᵢ - E(R)]²}　（7-10）

( 二 )风险溢价

传统的金融学理论强调“风险越高，收益越高”，因此，投资者在选择风险资产时，会考虑该风险资产带来的收益是否值得承担相应的风险。为衡量风险情形下的回报,通常会选取一个无风险利率作为评价尺度,风险资产的预期收益率与无风险利率之间的差值被称为风险溢价,其中,无风险利率是指将资金投资于某一项没有任何风险的投资对象而能获得的利息率，如国库券的收益率、Shibor 等。

无风险资产的收益率虽然也会随着时间的变化而变化,但是投资者在投资之初是能够知道将会获得多少收益的,然而,对于持有的风险资产而言,如股票.基金等,只有卖出之后才能知道其收益率。因此,基于实际数据计算的超额收益率成为估计风险溢价的常用指标,具体而言,超额收益率是指风险资产每一期超过无风险利率的收益率。例如,投资者在投资之初的无风险利率为 3% ,风险资产在期末的收益率为 8% ,那么 ,该风险资产的超额收益率就是 5%。任何资产风险溢价的估计值都是其历史超额收益率的平均值。

投资者投资风险资产的意愿取决于投资者的风险厌恶程度。投资者都是厌恶风险的，如果没有正的风险溢价，投资者会更加愿意投资无风险资产。投资者在进行风险资产选择时，一个基准就是风险溢价是否符合投资者愿意承担的风险程度。一个较为普遍的思路是利用风险溢价与风险的比值来刻画这一关系，其中最为常见的指标为夏普比率，具体公式如下:

SRᵢ = [E(rᵢ) - r_f] ÷ σᵢ　（7-11）

其中，SRᵢ 为资产 i 的夏普比率，E(rᵢ) 为资产 i 的预期收益率，r_f 为无风险利率，σᵢ 为资产i 收益率的标准差。

在现实生活中,投资者不会集中选择一个金融资产 ,而是根据投资需求将投资资金在不同资产类别之间进行分配,这样的投资组合管理被称为资产配置。资产配置的最基本形式是将投资组合分为风险资产与无风险资产,投资组合中投资于风险资产的部分叫作风险资产的资本配置,这一比例直接取决于投资者的风险厌恶程度。

( 一 ) 两种风险资产的资产配置

以一种较为常见的情形为例，投资者在债券与股票之间进行投资组合，其中，将 ϖ 比例的

资金投入债券基金，将（1 - ϖ）比例的资金投入股票基金。假设债券基金和股票基金的收益率

分别为 r_B 和 r_S，债券基金和股票基金的收益率的标准差分别为 σ_B 和 σ_S，同时，两者收益率的相关系数为 ρ，那么，该投资组合的收益率 r_P 和标准差 SD(r_P) 分别为：

r_P = ϖ × r_B +（1 - ϖ）× r_S　（7-12）

SD(r_P) = √{(ϖ × σ_B)² + [(1 - ϖ) × σ_S]² + 2ρ × (ϖ × σ_B) × [(1 - ϖ) × σ_S]}　（7-13）

在公式(7-12 ) 和公式(7-13 )中,投资组合的收益率是所有风险资产收益率的加权平

均,权重是组合中各种风险资产的投资比例。但是,投资组合的风险却不与各风险资产的

风险成比例关系。在相关系数较低甚至为负的情形下,可以降低投资组合的风险。例如，

假设债券基金预期收益率 E(r_B) = 5%，股票基金预期收益率 E(r_S) = 10%，σ_B = 8%，σ_S = 20%，

ρ = 0.2，投资比例为债券基金和股票基金各占 50%。投资组合预期收益率 E(r_P) 和标准差计算

如下。

E(r_P) = 0.5 × 5% + 0.5 × 10% = 7.5%

SD(r_P) = √{(0.5 × 8%)² + (0.5 × 20%)² + 2 × 0.2 × (0.5 × 8%) × (0.5 × 20%)} ≈ 11.49%

计算出来的投资组合标准差为 11.49% ,这一数值小于两种资产的加权平均标准差 14%。如果无风险利率为 3% ,投资组合的夏普比率为 0.39,同样高于债券基金的 0.25 和股票基金的0.35。这就是分散投资带来的好处。

投资组合还可以通过调整两种风险资产的比例，使投资者拥有更多不同的“收益与风险”组合，在允许做空的环境下，组合的范围将进一步扩大。所有可行的投资组合的“收益与风险”集合被称为可行集。两种风险资产配置下的可行集是一条弓形曲线，如图 7-1 所示。需要指出的是,当两种风险资产的相关系数为1或-1 时,可行集将分别变为一条直线和一条折线。

( 二 )多种风险资产的资产配置

多种风险资产配置时,可以先不同的风险资产两两组合,形成不同的弓形可行集,这些两两组合之后的组合又可以相互组合，因此，在多种风险资产存在的时候，可行集将由原有的弓形曲线拓展为一个区域。多种风险资产配置下的可行集如图 7-2 所示。

图 7-1 两种风险资产配置下的可行集：纵轴为预期收益率，横轴为标准差，曲线左端为最小风险组合；同一风险下，上方的组合有更高的收益。图 7-2 多种风险资产配置下的可行集：纵轴为预期收益率，横轴为标准差，可行集为一个区域，N 点至 B 点为有效边界。

由于投资者都是厌恶风险的,因此投资者会在风险水平相同的情形下选择预期收益率最高的投资组合 ,或在相同的预期收益率下选择风险最小的组合,即对应于可行集区域左上方的曲线，具体到图 7-2 中，即 N 点到 B 点的曲线，这条曲线也被称为有效边界，处于有效边界上的组合称为有效组合。其中, N 点对应方差最小的组合,因此其代表的组合也被称为最小方差

组合。

从图 7-2 可以看出，有效边界具有如下特点：①有效边界是一条向右上方倾斜的曲线，反映了“高风险、高收益”的原则；②有效边界是一条向上凸的曲线；③有效边界曲线上不可能有凹陷的地方。

( 三 )无风险资产与风险资产的资产配置

由于无风险资产一般认为没有任何风险，因此通常假设无风险资产的标准差为 0，无风险资产和风险资产间的相关系数也为 0。假定风险资产的收益率和标准差分别为 r_P 和 σ_P，投资于风险资产的比例为 ϖ，投资组合预期收益率 E(r_C) 和标准差 σ(r_C) 计算如下：

E(r_C) = ϖ × E(r_P) +（1 - ϖ）× r_f

σ(r_C) = √[(ϖ × σ_P)² + [(1 - ϖ) × 0]² + 2 × 0 × (ϖ × σ_P) × [(1 - ϖ) × 0]] = ϖ × σ_P基于上述两个式子可以进一步得到投资组合的预期收益率与风险之间的关系公式(7-14),从公式(7-14 )可以看出,投资组合的预期收益率与风险呈直线关系,该直线被称为资本配置线（capital allocation line，CAL）。资本配置线具有以下几个特征：①该直线经过(0，r_f) 这一点；②该直线的斜率为风险资产的夏普比率。

E(r_C) = r_f + [E(r_P) - r_f] ÷ σ_P × σ(r_C)　（7-14）

由于有效边界上的每一个点都是一种风险资产组合,因此,无风险资产可以与有效边界上的任一点进行投资组合,并相应地形成一条资本配置线。

投资者在风险相同的情形下，总是会选择预期收益率更高的资产。CAL 斜率越大，其对应的风险资产组合就会使投资者的效用越高，该风险资产组合也被称为最优风险组合。基于数学的逻辑，由（0，r_f）这一点射出的、与有效边界相切的直线被称为资本市场线（capital marketline，CML），如图 7-3 所示，其中的切点是与无风险资产组合的风险资产组合。无风险资产与该点对应的风险资产组合进行配置，能够在同等风险水平下获取更高的预期收益率，因此，该点对应的风险资产组合就是最优风险组合。由于资本市场线最偏向左上方，因此其斜率最大，即对应于最优风险组合的夏普比率最大。

如果投资者准备投资风险资产，他们需要一个风险溢价来补偿增加的风险。通常资本市场线向上倾斜，说明随着风险的增加，预期收益率将成比例地增加，这种关系与人们常说的“风险越大，收益越大”是一致的。图 7-3 的纵轴为预期收益率，横轴为标准差，标有 CAL、CML、任一组合 P 和最优风险组合 P*。

这一决策过程表明风险资产组成的最优风险组合的确定与投资者的风险偏好无关,也就是说,无论投资者对风险的厌恶程度和对风险的偏好程度如何,其所选择的风险资产的构成都是一样的,即最优风险组合。投资者的风险厌恶程度会决定其资产如何在风险资产组合与无风险资产之间进行配置，风险厌恶程度较高的投资者会持有更高比例的无风险资产，而风险厌恶程度较低的投资者则会持有更高比例的最优风险组合。

( 一 )资本资产定价模型的假设与含义

资本资产定价模型（capital asset pricing model，CAPM）是在资本市场处于均衡状态下的价格决定模型。CAPM 基于两组假设，分别与投资者行为和市场结构相关。投资者行为方面：①投资者都是厌恶风险的，同时具有不满足性，即任何投资者都希望财富越多越好；②投资者都追求期末财富的期望效用最大化；③所有投资者对未来都具有一致性预期，都能正确地认识到所有资产的收益服从联合正态分布；④投资者都是理性的，都追求“均值与方差”最优化；⑤所有投资者均可免费获得信息，市场的信息是公开的、完备的。市场结构方面：①所有资产均为责任有限的，即对任何资产，其期末价值总是大于或等于 0；②市场是完备的，即不存在交易成本和税收，且所有资产均可以无限分割；③存在无风险资产，投资者可以以共同的无风险利率进行借贷，且不受数量限制；④存在做空机制，投资者可以做空所有资产；⑤市场处于完全竞争状态,即不存在垄断和操纵,资本市场有众多的投资者,每一个个体投资者的买入或卖出行为,都不会影响资产的价格。

这些假设也受到了诸多质疑,例如,投资者的同质化预期.市场是没有摩擦的等与现实市场存在较大的出入,但是,到目前为止, CAPM 仍是衡量风险收益模型的标准。

在 CAPM 的假设下,所有投资者的预期是相同的,那么,所有投资者的有效边界也是一样的,同时,投资者面临的无风险利率也是一样的,因此最优风险组合就成了所有投资者的最优风险组合。由于市场是没有摩擦的,所以所有投资者都可以按照同一比例持有各类风险资产，由于所有投资者持有的风险资产比例都是一样的,市场中的风险资产的比例也就被确定了,即最优风险组合中各类风险资产的比例。因此,在 CAPM 的假设下,最优风险组合就等于市场组合。

市场组合是这样一个投资组合,它包含了市场上流通的所有证券,其中,每一个证券的投资比例等于它们的相对市场价值,即该证券的市场价值除以所有证券的市场价值总和。理论上，市场组合包含所有风险资产：金融资产如股票、债券、期权、期货等，以及实际资产如不动产、黄金、古董、艺术品等。

基于上述分析，市场组合就是资本配置线与风险资产有效边界的切点，或者说是资本市场线与有效边界相交的地方。资本市场线的斜率是有效证券组合的风险市场价格,它度量了增加单位风险需增加的预期收益率。换句话说，资本市场线给出了每一种证券组合的风险水平的应得收益，即任何一种证券组合的预期收益率 E(r_P) 和标准差 σ(r_P) 关系应该符合资本市场线的关系，具体公式如下：

E(r_P) = r_f + [E(r_M) - r_f] ÷ σ_M × σ(r_P)　（7-15）其中，E(r_M)、σ_M 和 r_f 分别表示市场组合的预期收益率、市场组合的标准差和无风险利率。公式（7-15）可以进行如下变形：[E(r_P) - r_f] ÷ σ(r_P) = [E(r_M) - r_f] ÷ σ_M[E(r_P) - r_f] ÷ [σ(r_P) × σ_M] = [E(r_M) - r_f] ÷ σ_M²

E(r_P) - r_f = [σ(r_P) × σ_M ÷ σ_M²] × [E(r_M) - r_f]进一步简化,可以得到更为常见的公式:E(r_P) = r_f + β_P × [E(r_M) - r_f]　（7-16）

其中，β_P 通常被称为证券组合 P 的贝塔系数。由于市场的平均收益率高于平均的无风险利率，因此，市场组合的风险溢价 E(r_M) - r_f 是个正数。公式（7-16）表明资产的风险溢价E(r_P) - r_f 等于该资产贝塔系数乘以市场组合的风险溢价。

( 二 )指数模型

指数模型是旨在研究资产收益与市场指数和公司特定因素收益相关联的模型。该模型有助于解释多样化投资的收益,也是检验 CAPM 最常用的统计模型。公式(7-17 ) 给出了具体的数学表达式。其中，Rᵢ(t) = rᵢ(t) - r_f(t) 和 R_M(t) = r_M(t) - r_f(t) 分别为金融资产 i 和市场组合 M 的超额收益率，αᵢ 为统计回归的截距项，eᵢ(t) 为残差项，常用来代表金融资产 i 第 t 月的公司特定风险。

Rᵢ(t) = αᵢ + βᵢ × R_M(t) + eᵢ(t)　（7-17）公式(7-17 ) 两边同时取期望值可得:E(Rᵢ) = αᵢ + βᵢ × E(R_M)　（7-18）

相比于 CAPM 而言，公式（7-18）仅相差一个 αᵢ，该系数被称为阿尔法系数。为什么在 CAPM 的假设下阿尔法系数的值为 0？试想一下，如果阿尔法系数为正，那么投资者可以通过投资该金融资产获得超出风险对应的收益,在此预期下 ,投资者买入推动资产价格上涨,迫使该资产的预期收益率下降; 如果阿尔法系数为负, CAPM 有不限制做空的假设,因此投资者可以通过做空该资产获得超出风险对应的收益,同样,在此预期下,投资者做空该资产推动资产价格下跌, 抬高资产的预期收益率。不过,由于 CAPM 的假设过于严苛,现实中也常存在阿尔法系数不等于0 的情况。很多人也常用阿尔法系数来代表投资者的投资能力，在此情形下，阿尔法系数也被称为詹森指数。詹森指数与前文提到的夏普比率,以及特雷诺指数是三个最为经典的风险调整后的收益指标。特雷诺指数的计算公式如下，即投资组合 P 的特雷诺指数（T_P）等于投资组合 P 的风险溢价除以投资组合 P 的贝塔系数。

T_P = [E(r_P) - r_f] ÷ β_P　（7-19）进一步对公式(7-17 )进行分析,对等式两边同时求方差,得到:Var(Rᵢ) = βᵢ² × σ_M² + σ²(eᵢ)　（7-20）

从等式的右边看出，每个证券收益率的总体波动可以分为两个部分，分别为整个市场的风险 βᵢ² × σ_M² 和公司特定的风险 σ²(eᵢ)。其中，市场部分的风险又被称为系统风险，该部分风险无法通过分散投资消除；公司特定的风险又被称为个体风险，该部分风险可以通过分散投资消除。由于 σ_M² 对于市场所有证券而言是一致的，因此，贝塔系数衡量了不同证券或不同投资组合的系统风险程度，也是常用的风险指标。

( 三 )证券市场线

在 CAPM 中,贝塔系数确定的情况下,证券或投资组合的预期收益率就可以被确定,同时，贝塔系数还是衡量证券或投资组合风险的常见指标，因此，“预期收益率与贝塔系数”关系式同样可以刻画金融资产的“收益与风险”关系，刻画这一关系的图形为一条直线，该直线被

称为证券市场线（security market line，SML），如图 7-4 所示，该直线在纵轴上的截距为无风险利率，斜率为市场的风险溢价。与 CML 一样，SML 同样也是刻画“收益—风险”关系的图形，且都是截距项为无风险利率的直线。CML 与 SML 在以下几个方面存在差异：①风险的代理指标不一样，CML 采用标准差作为风险的代理，刻画了组合的整体风险，而 SML 采用证券或投资组合的贝塔系数作为风险的代理，仅刻画了证券或投资组合的系统风险；② CML 刻画的是有效投资组合的风险溢价与有效投资组合标准差之间的关系，其中有效投资组合是指由市场组合（或最优风险组合）和无风险资产所构成的整个投资组合，而 SML 可以用于单个风险资产，也可用于投资组合；③ CML 的斜率为市场组合的夏普比率，而 SML 的斜率为市场组合的风险溢价。图 7-4 的纵轴为预期收益率，横轴为贝塔系数，SML 在纵轴截距处标注 r_f。

证券的价格变化受多种因素的影响,如果能找出影响证券价格的因素,分析这些因素的影响程度,就可以构造出因素模型来估计每个证券的预期收益率, 通过影响因素分析证券价格波动的模型被称为因素模型。根据影响因素的个数,因素模型可被分为单因素模型和多因素模型。( 一 )单因素模型单因素模型是表达证券的收益率与某种因素的数量关系的数学模型。单因素模型的基本思想是证券收益率只与一个影响因素有关,除这个因素外,证券收益率的所有剩余不确定性是公司特有的，也就是说，证券之间的相关性除这一因素外没有其他来源了。对于任意的证券 i，单因素模型下证券 i 在时期 t 的收益率可以表示为：

rᵢₜ = aᵢ + bᵢ × Fₜ + εᵢₜ　（7-21）

其中，rᵢₜ 表示证券 i 在时期 t 的收益率；Fₜ 表示因素在时期 t 的值；bᵢ 表示证券 i 对因素的敏感度；εᵢₜ 为证券 i 的收益率在时期 t 的随机扰动，其均值为 0；aᵢ 为常数，表示因素值为 0 时证券 i 的预期收益率。( 二 )多因素模型多因素模型认为，证券 i 的收益率取决于多个因素，如果多因素模型认为取决于 k 个因素，那么，多因素模型可以表示为：

rᵢₜ = aᵢ + bᵢ₁ × F₁ₜ + bᵢ₂ × F₂ₜ + … + bᵢₖ × Fₖₜ + εᵢₜ　（7-22）

假设影响各个公司运营情况的两个重要经济变量是国内生产总值 GDP 和利率 R，任何证券的收益都与这两个宏观风险因素以及各自公司的特有风险相关,那么,对应的多因素模型可以表示为:

rᵢₜ = aᵢ + bᵢ₁ × GDPₜ + bᵢ₂ × Rₜ + εᵢₜ假设 aᵢ = 1%，bᵢ₁ = 0.8，bᵢ₂ = -0.4，如果某一季度的国内生产总值增长率为 5%，利率为 3%，那么证券i 在该季度的预期收益率为 1% + 0.8 × 5% - 0.4 × 3% = 3.8%。需要注意的是,与资本资产定价模型不同的是,因素模型不是资产定价的均衡模型,但是,多因素模型给研究者提供更加多样化的思路,使其思考风险敞口的补偿问题。例如,由尤

金·法玛和肯尼斯·弗伦奇提出的 Fama-French 三因子模型已经成为资产收益率实证研究的标准工具。

( 三 )Fama-French 三因子模型

Fama-French 三因子模型包括三个因子因素，分别为市场因子、市值因子和账面市值比因子,可具体表示为如下公式:

rᵢₜ - r_fₜ = αᵢ + β_M × (r_Mₜ - r_fₜ) + β_HML × r_HML,ₜ + β_SMB × r_SMB,ₜ + εᵢₜ　（7-23）

该模型在指数模型的基础上，加入市值因子（r_SMB）和账面市值比因子（r_HML）来解释平均收益率,新加入两个方面因素的原因在于,市场观察发现小市值公司的股票和账面市值比高的公司的股票的平均收益率,比根据 CAPM 预估所得的数值要高。

账面市值比高的公司主要是相对成熟的公司,这些公司从已经存在的资产中获得了更大的市场份额 ,而不是增长机会,这类公司的股票通常被称为价值型股票,相比之下 ,账面市值比低的公司被视为成长型公司 ,其市值来自现金流的预期增长 ,而非现有资产。

在 Fama-French 三因子模型中，尤金·法玛和肯尼斯·弗伦奇并不认为公司规模或者账面市值比直接决定了公司的风险溢价,而是认为这些因素可以被视为更基本的风险来源的代理，这些风险并没有完全被 CAPM 中的 β 值所捕获。因此，这些市场外因素可以被解释为提供基本风险因素敞口的投资组合。

例如,在其他条件相同的情况下 ,大公司的股票比小公司的股票风险小,因为大公司有更优秀的分析师且有更准确的信息,价格将更加准确地反映真实价值,不容易受到系统性风险和公司特定风险波动的影响。另外,大公司拥有更雄厚的财力和更大的负债能力 ,能够更好地抵御经济衰退。

( 一 )套利及套利组合

因素模型描述了单个证券或者某个组合的收益与因素之间的联系。不同的因素会有各自的因素模型。换言之,因素模型不是资产定价的均衡模型,它没有说明在市场均衡状态下资产定价与因素之间的一般关系。套利定价理论从因素模型出发,认为通过套利行为,市场将达到均衡,可以推导出均衡状态下的资本资产定价模型。

【范围辨析】在本章典型的无套利定价模型中，套利是利用不一致的可成交价格，以零初始净投资建立可执行组合，扣除融资和交易费用后锁定无风险正净收益的交易。只看到不同时点价格不同，或预期收益较高，不能认定存在套利。【模型前提】以下三个条件——零初始净投资、零因素敏感度、正预期收益——须在特有风险已经完全对冲的教学模型下使用；若只通过充分分散使特有风险趋近于零，则相应讨论为近似套利，不能称有限组合已经严格无风险。

条件一：套利组合要求投资者不追加资金，按零初始净投资、自融资的交易调整来构造。如果用xᵢ（i=1，2，…，n）表示按同一正的基准金额计算的证券i持仓金额变动比例（允许为负），则该条件可以表示为：

x₁+x₂+…+xₙ=0。（7-24）

条件二: 套利组合对任何因素的敏感度为 0,即套利组合没有因素风险,在单因素模型下 ，该条件可以表示为:

b₁x₁+b₂x₂+…+bₙxₙ=0。（7-25）
条件三：套利组合的预期收益应大于0，即
x₁E(r₁)+x₂E(r₂)+…+xₙE(rₙ)>0。（7-26）

(二) 套利定价模型一般地，一个套利证券组合由 n 种资产组成，权重分别为 xᵢ（i = 1，2，…，n），假设证券收益与一个因素相关,即单因素模型,那么该套利组合的收益为:

E(Σᵢ₌₁ⁿ xᵢrᵢ) = Σᵢ₌₁ⁿ xᵢaᵢ + Σᵢ₌₁ⁿ xᵢbᵢF　（7-27）

由于套利证券组合要求无净投资,公式(7-24 )需得到满足; 另外,套利证券组合不受因

素风险的影响,公式(7-25 ) 同样成立。除此之外,在现实的世界里,套利机会的存在会触发套

利交易的行为，直到套利机会明显减少或消失为止。如果证券组合没有套利机会，则在均衡状态下，各证券的预期收益率与该证券的因素敏感度应该存在公式（7-28）的关系。

E(rᵢ) = λ₀ + λ₁bᵢ　（7-28）其中，λ₀ 和 λ₁ 为常数，公式（7-28）表明在均衡状态下证券的预期收益率与因素敏感度存在线性关系,公式(7-28 ) 的关系可用图 7-5 表示,图中的直线被称为套利定价线或 APT 资产定价线。根据套利定价理论 ,任何偏离 APT 资产定价线的证券,其定价都是错误的,这会给投资者提供构建套利组合的机会。以 B 点代表的证券为例，该点位于 APT 资产定价线的上方，意味着其预期收益率高，投资者可以通过卖出 S 点所代表的证券，同时买入相同金额的 B点代表的证券，从而形成套利组合。由于买卖 B 点代表的证券和 S 点代表的证券的金额相同，因此满足公式（7-24）的条件；由于 B 点代表的证券和 S 点代表的证券的因素敏感度相等，且买卖金额一样，因此公式（7-25）也得到满足；但是，B 点代表的证券的预期收益率高于 S 点代表的证券的预期收益率,且两者的权重相等,因此满足公式(7-26 ) 的条件。在套利的作用下 ，投资者买入 B 点代表的证券，其价格不断上升，预期收益率也随之下降，直到回到 APT 资产定价线为止。此时,证券价格处于均衡状态。

图 7-5 APT 资产定价线：纵轴为 E(rᵢ)，横轴为 bᵢ；直线纵轴截距为 λ₀，B 点位于定价线上方，S 点位于线上，且 b_B = b_S。

那么，λ₀ 和 λ₁ 代表什么呢？无风险利率为 r_f，同时无风险资产的因素敏感度为 0，由于公式(7-28 )适用于所有证券,因此也包括无风险证券,将无风险证券的情形代入公式(7-28 )，即可得到 λ₀ = r_f。为理解 λ₁ 的含义，我们考虑一个纯因素组合 p*，该组合的因素敏感度为 1，那么 p* 的预期收益率 E(r_p*) 可以表示为：E(r_p*) = r_f + λ₁　（7-29）即可得出：λ₁ = E(r_p*) - r_f由此可见，λ₁ 代表风险价格，即单位因素敏感度组合的预期收益率超过无风险利率的部

分。因此，公式（7-28）可表示为：E(rᵢ) = r_f + [E(r_p*) - r_f]bᵢ　（7-30）

基于同样的数学推导，单因素模型下的 APT 资产定价公式可推广至多因素模型下的 APT资产定价公式,具体公式如下:E(rᵢ) = r_f + λ₁bᵢ₁ + λ₂bᵢ₂ + … + λₖbᵢₖ　（7-31）公式（7-31）说明一种证券的预期收益率等于无风险利率加上 k 个因素的风险报酬。

( 三 )套利定价模型与资本资产定价模型的一致性套利定价模型与资本资产定价模型既有区别又有联系,两者都是一种均衡模型。套利定价理论假设市场处于均衡状态时将不存在套利机会,从而将证券的预期收益率确定下来,体现的是整个市场给出的一种合理定价,因此投资者无套利机会可用。不过现实中并不能完全消除套利机会,相反正是因为套利机会的存在促使投资者去套利 ,而套利的结果反过来又使得套利机会消失,然后新的套利机会产生,再套利再消除,如此往复使得市场更加趋于合理化。而资本资产定价模型则是一种理想的均衡模型,它强调的是证券市场所有证券的供需均达到均衡。

根据套利定价理论，证券的预期收益率等于无风险利率加上 k 个因素的风险报酬，在只有一个因素的时候,模型为公式(7-30 )。资本资产定价模型的定价公式如下 :E(rᵢ) = r_f + [E(r_M) - r_f]βᵢ　（7-32）如果 E(r_p*) = E(r_M)，同时 bᵢ = βᵢ，那么套利定价模型与资本资产定价模型在公式上就表现一致。不过这只是因素模型中的一种特殊情形，因此，相比于资本资产定价模型而言，套利定价模型更具一般性。

(一)收入资本化法

在债券价值分析中,收入资本化法是最为常见的方法。收入资本化法简称收入法或资产基准法,又称现金流贴现法,包括股息 ( 或利息 )贴现法和自由现金流贴现法。

收入资本化法认为，任何资产的内在价值均取决于该资产预期的未来现金流的现值。投资者使用一个合适的贴现率将未来的现金流贴现到当前时刻得到其现值( 这个贴现过程被称为资本化 ),使用合适贴现率计算出来的债券未来现金收益的现值,称为债券的内在价值。根据债券的内在价值和市场价值是否一致,可以判断该债券是否被低估或高估,从而帮助投资者进行正确的投资决策。具体来看，收入资本化法的公式如下：

P = Σₜ₌₁ᵀ Cₜ ÷ (1 + i)ᵗ　（7-33）

其中，P 为债券的价格，T 为债券的期数，Cₜ 为该债券对应的未来第 t 期的现金流，i 为资本化过程的贴现率。计算内在价值时使用的贴现率被称为资本化率,也叫作必要收益率。不同的投资者或投资机构在对债券价值进行分析时选定的贴现率不一定相同,这也是对债券价值的评估可能不一致的原因。一般来说,选择贴现率要考虑两个因素: 一是货币的时间价值;二是所评估的未来现金流的风险大小。前一个因素主要取决于未来利率的变动 .通货膨胀情况 债券期限的长短等,后一个因素与所评估债券的信用级别 流动性.税收待遇以及特殊条款

紧密相关。通常的做法是选择市场上存在的其他类似债券的收益率作为参考利率,再考虑拟评估债券与参考债券间的异同点进行相应调整; 或者以同期限的国债利率为基准,充分考虑所评估债券的信用级别 .税收待遇特殊条款等因素来确定。

( 二 )债券的内在价值

1. 零息债券

零息债券又称贴现债券,是一种以低于面值的贴现方式发行,不支付利息,到期按面值偿还的债券。债券发行价格与面值之间的差额就是投资者的利息收入。由于面值是投资者未来的现金流,所以贴现债券的内在价值由公式(7-34 )决定。

V = F ÷ (1 + i)ᵀ　（7-34）

其中，V 表示债券当前时刻的内在价值，F 表示债券的面值，i 表示债券的贴现率，T 表示债券的投资年限。假设某零息债券,期限为 10 年,债券面值为 1000 元,贴现率为 7% ,那么它的内在价值为

1000 ÷ (1 + 7%)¹⁰ ≈ 508.35（元）。

2. 固定利息债券

固定利息债券又被称为直接债券或定息债券。购买固定利息债券的投资者不仅可以在期满时收回本金 ,而且可定期获得固定的利息收入 ,基于公式(7-33 ) 的收入资本化法,固定利息债券的内在价值公式为:

V = c/(1 + i) + c/(1 + i)² + … + c/(1 + i)ᵀ + F/(1 + i)ᵀ　（7-35）其中，c 表示债券每一期的利息。3. 永续债券永续债券是一种没有到期日的债券,债券发行人不需要偿付债券的面值,但是要永久地向债券持有人定期支付利息。显然只有信用良好的发行人才可能发行永续债券。永续债券的内在价值公式为:

V = c/(1 + i) + c/(1 + i)² + … = c/i　（7-36）

例如,某永续债券的面值为 10000 元,息票率为 2% ,假设贴现率为 4% ,那么 ,该永续债券每一期需要支付 200 元的利息，其对应的内在价值为 200 ÷ 4% = 5000（元）。

( 三 )债券价值的影响因素

1. 贴现率

债券价值分析中的一个重要关系就是债券内在价值和贴现率之间的负相关关系,贴现率的上升导致债券内在价值降低。当市场利率普遍升高的时候,投资者的各种替代投资项目的收益率都会升高,因此投资者要求的债券的贴现率也随之提高,从而导致债券估值水平下降，投资者对债券估值的整体变化必然会影响当前债券的市场价格。例如，剩余期限为 20 年、面值为 1000 元 .息票率为 8% ,半年支付一次利息的债券在不同贴现率下的内在价值见表 7-2。

表 7-2　债券在不同贴现率下的内在价值贴现率　　　　　　4%　　　　　　6%　　　　　　8%　　　　　　10%　　　　　　12%

内在价值/元 1547.11 1231.15 1000.00 828.41 699.07

可以看到,债券的内在价值随着贴现率的升高而降低,同时,需要注意的是,内在价值随贴现率的变化率并不是一成不变的。例如,贴现率从 4% 变化到 6% 的时候,债券内在价值下跌了315.96 元,而当贴现率从 6% 变化至 8% 时 ,债券内在价值仅变化 231.15 元。

另外，从表 7-2 还可以发现，在贴现率等于息票率的时候，债券的内在价值正好等于债券的面值; 而当贴现率小于息票率的时候,债券的内在价值大于面值; 当贴现率大于息票率的时候,债券的内在价值小于面值。

2. 信用等级

那些不能按时发放利息和偿还本金的债券将给投资者带来损失 ,这种由于债券发行人未能按时还本付息,令投资者遭受损失的风险被称为信用风险或者违约风险。对于一般投资者而言 ,由于受到时间 ,知识和信息等方面的限制,很难对众多债券的信用风险进行准确判断,这就需要专业机构对债券进行信用评级。

债券信用评级是由独立的私人机构对债券的信用风险进行的评级,这种评级仅仅是对各种债券当前的信用状况做出评价,向投资者提供债券发行人的一些信息,并不提供任何债券买卖信息。一般来说,信用评级将债券划分为两大类别: 一类信誉较高,违约风险较小,属于投资级债券; 另一类信誉较低,属于投机级债券。

信用评级对债券价值的影响很大。在其他条件相同的情况下 ,由于承受了更多的风险,投资者对信用等级差的债券会要求更高的投资收益率,也就是说,在对债券估值的时候会使用更高的贴现率,因此,信用等级差的债券在其他条件相同的情况下 ,估值更低。

3. 息票率

债券的息票率与债券的到期时间是构成债券内在价值的极其重要的因素,在其他因素都不变的情况下 ,它们甚至是债券内在价值的决定因素。如果其他条件不变,更高的息票率意味着更高的现金流,因此,对应着更高的债券内在价值。

4. 剩余期限

剩余期限与债券内在价值的关系较为复杂。对于零息债券,剩余期限与债券内在价值呈负相关关系; 对于永续债券,没有剩余期限的概念; 对于固定利息债券,剩余期限与债券内在价值的关系又受到贴现率与息票率的相互大小关系影响。

5. 税收待遇

税收待遇也是影响债券价值的一个重要因素,因为对于投资者而言 ,投资债券的最终收益应该是税后收益。在所有其他条件相同的债券中,免税或付税较少的债券相比于付税较多的债券而言 ,投资者可以获得更高的最终收益,因此具有更高的价值。

6. 含权条款

为了满足投资人和发行人的不同需求，公司在发行债券时会在普通债券条款之后附加一些特别权利，给债券附加权利的条款被称为含权条款，有含权条款的债券被称为含权债券或复合债券。根据权利内容的不同，附加权利有可转换权、可交换权、可回售权、可赎回权等。其中，可转换权是指债券持有人享有在约定期间,以约定的转换价格将持有的债券转换成发行公司股份的权利,附加了可转换权的债券被称为可转换债券; 可交换权是指债券持有人有权在约定期间将债券交换成其他上市公司的股份,而不是发行公司的股份,由于可交换权的标的股份不是发行人的股份,发行人需在发行时将持有的其他上市公司股份质押给承销机构; 可回售权是指债券持有人在约定期间 ,可以选择按照事先约定的价格将债券卖回给发行人的权利; 与可回售

权相反的是,可赎回权是一个利于债券发行人的附加权利,可赎回权是指债券发行人在约定期间内以事先约定的赎回价格从投资者手中买回债券的权利。例如 ,当市场利率大幅下降到低于债券的息票率时,债券发行人可赎回债券,再以更低的利率发行新债券,降低融资成本。

根据持有者不同,附加权利可以分为债券持有人权利和债券发行人权利。其中,债券持有人权利是指债券赋予了债券持有人的一些权利，如可转换权、可交换权和可回售权；债券发行人权利是指债券赋予了债券发行人的一些权利,如可赎回权。一般而言 ,在其他条件相同的情形下,包含债券持有人权利的债券的价值更高,包含债券发行人权利的债券的价值更低。

7. 流动性

债券的流动性是指债券持有人在不遭受损失的情况下，将债券迅速变现的能力。通常用买卖价差来衡量债券的流动性，买卖价差小说明债券流动性好，债券易于变现；买卖价差大说明债券流动性差，债券变现相对困难。一般而言，流动性高的债券的内在价值较高，流动性低的债券的内在价值较低。

8. 通货膨胀

通货膨胀能引起货币贬值,从而影响现金的实际购买力,以现金流表示的债券实际收益率随着通货膨胀的变化而发生改变。例如,债券的年收益率为 10%,若当年的通货膨胀率为3% ,则债券的实际年收益率仅为 7% 左右。通货膨胀的变动方向和变动幅度还直接影响市场利率的变动方向和变动幅度,对债券的内在价值产生一定的影响。

( 一 )股票估值概述

金融市场中大部分的交易动机来自投资者试图寻找并提前买入那些他们认为价格即将上涨的股票 ,或者提前卖出价格即将下跌的股票。投资者基于市场信息做出买卖决策,有价值的信息大体分为两类: 一类是隐含在股票历史价格和历史成交量中的信息,投资者利用此类信息寻找未来趋势的决策模式被称为趋势分析或技术分析; 另一类是影响股票内在价值的信息，被称为基本面信息。基本面信息包括失业率、国内生产总值 ,利率.汇率等宏观经济指标,也包括行业增长率 .商业周期等行业指标,以及公司自身经营特征和相关财务信息,使用基本面信息寻找股票内在价值的过程被称为基本面分析,也可称权益估值。

使用基本面分析方法获得股票的内在价值之后,投资者将内在价值与可观测的市场价格进行比较,如果市场价格低于内在价值,则股票价格被低估 ,投资者倾向于买入被低估的股票;如果市场价格高于内在价值,则股票价格被高估 ,投资者倾向于卖出被高估的股票。

股票内在价值评估的方法主要有两大类,分别为现值估值模型和财务倍数模型。现值估值模型基于收入资本化法的原理,结合公司基本面信息,对权益持有人的未来预期收益进行预测 ,使用合理的机会成本作为贴现率, 计算未来预期收益的现值作为权益当前的内在价值。由于权益持有人追求的是现金形式的收益,因此,现值估值模型也被称为现金流折现模型。具体来说,根据不同的现金流收益指标,现值估值模型又可以分为股息贴现模型.公司自由现金流模型和股权自由现金流模型。

财务倍数模型又称财务乘数模型,这类模型通过计算价值与其个财务指标的比值来进行估值。使用比值的原因在于公司的规模和发行的股份数对权益的绝对价值有影响,公司规模大发行股份少的公司,其每股权益的单位价格自然高。投资者在多个可选投资标的之间进行筛选的时候,不能直接比较他们的单位价格。财务倍数使得公司规模和发行的股份数对权益价值的影响单位化,投资者可以通过财务倍数在不同公司之间进行横截面上的比较,也可以对

同一公司的历史表现进行时间序列上的比较。常见的财务倍数有市盈率、市净率、市现率、市销率等以每股价格作为分子的价格倍数,它们的分母是财务报表中的财务指标( 每股 ),例如，市盈率的分母是每股净收益 ,市净率的分母是每股净资产。( 二 )股息贴现模型1. 股息贴现模型概述股息贴现模型建立在收入资本化法基础之上 ,该模型认为,股票内在价值由无穷期限内预期股息收益的现值决定。基于此思路，股息贴现模型的公式如下：

V = Σₜ₌₁∞ Dₜ ÷ (1 + i)ᵗ　（7-37）

其中，V 表示普通股当前时刻的内在价值，Dₜ 表示普通股在 t 期的股息，i 表示股票的贴现率。事实上,绝大多数投资者并非在投资之后永久地持有所投资的股票,即在买进一段时间之后可能抛售股票。假设投资者在持有 1 年后抛售股票，那么在 1 年期的时刻其现金流为股息 D₁ 以及卖出股票获得现金 P₁，基于此现金流，投资者购买股票的内在价值公式如下:

V = D₁/(1 + i) + P₁/(1 + i)　（7-38）如果市场是均衡的，那么 P₁ 应该等于股票的内在价值 V₁，而根据股息贴现模型，股票在第1 期的内在价值 V₁ 应该为：V₁ = Σₜ₌₂∞ Dₜ ÷ (1 + i)ᵗ⁻¹　（7-39）

将公式(7-39 ) 的结果代入公式(7-38 ),即可得到与公式(7-37 ) 完全一致的结果,因此股息贴现模型选用未来预期股息代表投资股票唯一的现金流,并没有忽视买卖股票的资本利得对股票内在价值的影响。如果能够准确预测股票未来每期的股息 ,就可以利用公式(7-37 )计算股票的内在价值,在对股票未来每期股息进行预测时 ,关键在于预测每期股息的增长率，用 gₜ 表示第 t 期的股息增长率，其表达式为：gₜ = (Dₜ - Dₜ₋₁) ÷ Dₜ₋₁　（7-40）

根据对股息增长率的不同假定，股息贴现模型可以分为零增长模型、不变增长模型、三阶段增长模型、H 模型和多元增长模型等。

2. 零增长模型

零增长模型是股息贴现模型的一种特殊形式，它假定股息是固定不变的，即股息增长率为0，在此情形下，公式（7-37）可简化为：

V = D₀/i　（7-41）其中，D₀ 为第 0 期支付的股息。假设投资者预期某公司每期支付的股息将永久地固定为5元/股,并且贴现率为 10% ,那么公司股票的内在价值就为 5 ÷ 10% = 50（元/股），如果此时公司的股票价格低于 50 元/股，投资者可选择买入。3. 不变增长模型不变增长模型又称戈登模型，该模型有三个假设：①股息的支付是永久的；②股息的增长

速度是一个常数，即 gₜ 为一个常数 g；③模型中的贴现率 i 大于股息增长率 g。基于以上假设，即可得到:

V = D₀(1 + g)/(i - g) = D₁/(i - g)　（7-42）

其中，D₀ 和 D₁ 分别为第 0 期和第 1 期支付的股息。如果股息增长率 g = 0 时，即股息零增长时,那么公式(7-42 )就变为公式(7-41 ),即零增长模型的公式。可以看出,零增长模型是不变增长模型的一种特殊形式。假设某公司当期的股息为2元/股,经预测,该公司股票未来的股息增长率将永久地保持在 5% 的水平，贴现率为 10%，那么，该公司股票的内在价值应等于 2 × (1 + 5%) ÷（10% -5%）= 42（元/股）。( 三 )公司自由现金流模型1. 公司自由现金流模型的基本概念股息贴现模型的局限性在于它不适合那些股息分配长期为 0 或相当不稳定的公司。从现金流的角度来看,投资者往往更加看重公司产生的、能够被公司资本提供者所支配的现金流。例如,债权人更加重视公司债务利息和本金的偿付能力,股权人则重视每个经营周期当中公司在支付了资本开支.税收,偿还了债务本息之后有多少现金流能够归属股东,由此形成了公司估值当中的自由现金流概念。公司自由现金流是指公司产生的,扣除了营运费用( 包括税收 ),投资的营运资本及固定资产之后,归属于所有资本提供者 ( 债权人和股权人 ) 的现金流。股权自由现金流是指公司自由现金流当中归属于股东的现金流。投资者如果能够通过基本面信息形成对公司未来自由现金流的预期 ,那么使用合理的贴现率对自由现金流贴现即可得到公司当前的总体价值。用公司的总体价值减去公司负债的价值则可以得到公司的股权价值。公司自由现金流模型主要包括四个步骤: 计算自由现金流、计算用以代理贴现率的资本成本 ,利用公司自由现金流模型进行公司总体价值估值.基于公司总体价值计算权益价值。2. 自由现金流的计算自由现金流的计算可以从损益表中的净利润开始,用净利润加减其他报表中的会计项目得到自由现金流。计算公式如下:FCFF = NI + NInt(1 - Tax) + DA - ΔWC - CExp　（7-43）其中，FCFF 是公司自由现金流；NI 表示损益表中的净利润；NInt 表示损益表中的净利息支出,净利息支出形成公司债权人的现金净收入,属于公司自由现金流的一部分,而净利润是扣减了这部分收益之后得到的,在计算自由现金流的时候需将这项加回; Tax 表示公司的所得税税率，在计算净利润的时候，应税收入等于息税前收入减去净利息支出，当净利息支出等于NInt 时，公司可以少交 NInt × Tax 所得税，利息净支出而导致的应交所得税减少被称为税盾，因此，净利息支出 NInt 对净利润 NI 的影响不是 NInt，而是 NInt - NInt × Tax；DA 为折旧摊销等非现金费用，这些项目会减少净利润，但是不会减少公司的现金流；ΔWC 为营运资本增加，营运资本等于流动资产减去流动负债的差额，差额增加表示对公司现金的占用；CExp 为以现金支付的固定资产投资。3. 资本成本的计算由于公司自由现金流是归属公司所有的资本提供者的,因此公司自由现金流对应的贴

现率应该等于公司资本的总体成本,称为公司的资本成本。从结构上分析,公司资本提供者分为三类: 债权人、优先股股东、普通股股东。公司资本的总体成本应该是所有资本的平均成本,因此,公司的资本成本应该为三类资本提供者的必要收益率的加权平均值,具体公式如下:

WACC = ω_D·r_D·(1 - Tax) + ω_P·r_P + ω_E·r_E　（7-44）其中，WACC 表示公司的资本成本，ω_D、ω_P 和 ω_E 分别代表债务占比、优先股占比和普通股占比，r_D、r_P 和 r_E 分别代表三类资本投资者的必要收益率，Tax 为公司所得税税率。r_D 乘以（1 - Tax）的原因是债务利息的税盾效应实际上减少了债务的成本,计算成本时使用税后的债务成本。例如,某公司通过发行债券.优先股和普通股来筹集资本。其中,债券市场价值为 25 亿元，优先股市场价值为 25 亿元，普通股市场价值为 50 亿元，三类资本的占比分别为 25%、25%和 50%，三类资本的必要收益率分别为 8%、10% 和 15%，公司所得税税率为 10%，那么该公司的资本成本为 25% × 8% ×（1 - 10%）+ 25% × 10% + 50% × 15% = 11.8%。4. 使用公司自由现金流模型估值基于收入资本化法的思路,以资本成本作为贴现率,以自由现金流为现金流,进行贴现即可得到公司的总体价值。以不变增长模型为例,即公司的自由现金流按照固定的增长率g稳定增长，那么公司的总体价值为：

V = Σₜ₌₁∞ [FCFF₀(1 + g)ᵗ ÷ (1 + WACC)ᵗ] = FCFF₀(1 + g) ÷ (WACC - g)　（7-45）

其中，FCFF₀ 为当期的自由现金流。计算出公司的总体价值之后,再减掉公司负债价值,即可得到公司的权益价值。负债价值一般采用公司长期债务的市场价值, 当债务的市场价值不容易获得的时候,可以用长期债务的账面价值替代。相比于股息贴现模型 ,公司自由现金流模型不是直接衡量公司向资本提供者提供的报酬 ，而是衡量公司向资本提供者支付报酬的能力,更加能体现公司可持续经营的能力。在以下一个或多个条件满足时,适合使用公司自由现金流模型进行估值。(1 )公司没有支付过红利。(2 )公司支付的红利和它能够支付的红利相差太远。(3 )在合理的预测区间 ,自由现金流更能够体现公司的盈利能力和持续经营能力。(4 )如果公司的红利政策容易被大股东操纵,那么红利水平反映的信息有误导作用。公司自由现金流模型的缺陷在于其计算过程比股息贴现模型复杂得多。分析者需要从财务报表中提取有用的指标计算出自由现金流和资本成本,依赖于分析者深刻理解公司的营运状况.财务状况 .融资状况,行业发展前景等。因此,公司自由现金流模型尽管具有比股息贴现模型更加深刻的金融经济学意义,但在实际应用中难度过高 ,估值的效率偏低。( 四 ) 财务倍数模型1. 常见的财务倍数在实务中，财务倍数模型是使用更为广泛 .更为简单的一种估值方法,具体做法是计算股票市场价格与某个财务指标的比值。比较常见的财务倍数如下。市盈率的计算公式如下：

PE = P/EPS　（7-46）

其中，PE 表示市盈率，P 为每股价格，EPS 为每股净收益。

市净率的计算公式如下：PB = P/BV　（7-47）其中，PB 表示市净率，BV 为每股净资产。市现率的计算公式如下：PC = P/CF　（7-48）

其中, PC 表示市现率, CF 为每股现金流。每股现金流是公司经营活动所产生的净现金流量减去优先股股利,所得的差值再与流通在外的普通股股数的比值。

市销率的计算公式如下：PS = P/Sales　（7-49）其中，PS 表示市销率；Sales 为每股销售额，一般用总收入或主营业务收入除以总股数。

2. 市盈率估值理论基础

相比于股息贴现模型 ,市盈率模型的历史更为悠久。在运用当中 ,市盈率模型具有以下三个方面的优点：①由于市盈率是股票价格与每股净收益的比率，是单位收益的价格，所以市盈率模型可以直接应用于不同收益水平的股票价格之间的比较；②对于那些在某些时间内没有支付股息的股票，市盈率模型同样适用，而股息贴现模型却不适用；③虽然部分市盈率指标同样需要对有关变量进行预测 ,但是所涉及的变量预测比股息贴现模型要简单 。

不过需要注意的是，市盈率模型同样也存在一些缺点：①市盈率模型的理论基础较为薄弱，而股息贴现模型的逻辑性较为严密；②在进行股票之间的比较时，市盈率模型只能决定不同股票市盈率的相对大小，却不能决定股票绝对的市盈率水平；③对于尚未取得盈利的公司而言 ,市盈率不具备参考价值。尽管如此,由于操作较为简单,市盈率模型仍然是一种被广泛使用的股票价值分析方法。

3. 常见的市盈率指标

根据分母使用的每股净收益不同，常见的市盈率有静态市盈率、滚动市盈率、前瞻市盈率和合理市盈率等。

静态市盈率是用当前价格除以最近一年年报的每股净收益所得,静态市盈率没有考虑到净收益的增长问题,对于有成长机会的公司来说,最近一个会计年度的净收益低于未来的净收益 ,造成静态市盈率偏高。

滚动市盈率使用最近四个季度的会计净收益累计值作为分母。滚动市盈率可以克服静态市盈率对每股净收益估计偏低的问题。滚动市盈率使用可观测的指标和变量,反映了公司在最近四个季度的成长性。滚动市盈率的缺陷是仅仅反映了最近一段时间的增长 ,而不是公司未来永续增长的精确反映。同时,滚动市盈率使用季报中的每股净收益 ,而季报是没有审计的会计报告,因此数据的可信度远低于最近一年年报的每股净收益。

前瞻市盈率使用分析机构预测的下一年度每股净收益作为分母，显而易见，前瞻市盈率包含了下一年度每股净收益这一不可观测的变量，不同机构对于同一公司下一年度的经营状况会产生主观预期上的偏差，使前瞻市盈率带有过多的主观意见。

合理市盈率基于公司长期的基本面信息,利用内在价值公式对市盈率进行估计,具体的公

式如下：合理市盈率 = (1 - b)/(i - g)　（7-50）其中，i 为股权必要收益率，b 为再投资率，g 为股息增长率。

( 一 )远期价格与远期合约价值

【原书勘误】远期合约价值是合约在某一时点对特定多头或空头头寸持有者的经济价值，不等于标的资产的现货价值、约定交割价格或固定由买方向卖方支付的现金。远期价格与远期合约价值是两个不同的概念。远期价格与标的资产现货价格及持有成本等有关；在忽略信用等影响的标准无套利模型中，每单位标的多头合约价值为同到期当前远期价格F与原约定交割价格K之差的现值，即V=(F−K)D，D为剩余期限的折现因子，空头价值为−V。按当时市价签订标准远期合约时，通常令交割价格等于同到期的市场远期价格，初始合约价值为零；这是通常的平价签约安排，不表示任何远期都必然没有首期付款，也不把保证金直接视为合约价值。在原合同条款保持不变时，约定交割价格不会随行情自动调整；当前市场远期价格会变化，存量合约的头寸价值因而可以为正、为负，也可以为零。

( 二 )远期价格和期货价格的关系

【比较前提】从第六章关于远期与期货的定义可以看出，两者定价密切相关，但除了标准化还存在结算等差异。本小节在理想市场中比较同一标的、同一到期日和可比条款的期货与传统到期结算远期：期货逐日结算损益，传统远期到期结算。考克斯等经济学家证明,在理想情况下 ,无风
险利率恒定,交割日相同的远期价格和期货价格应该相等。【原书勘误】当利率变化无法预测时，两种价格不再必然相等，但也不是必然不等；差异还取决于结算现金流与利率的相关关系。无风险利率路径已确定（不要求各期利率恒定）是理想模型中同价的充分条件，而非必要条件。

【典型比较】在上述理想市场和传统结算设定下，若标的价格与利率的正相关使期货多头获得较有利的再投资、融资条件，则期货价格高于远期价格。其机制是：在这种正相关情形下，标的及期货价格上涨时，多头收到逐日结算的收益，往往可按较高利率再投资。当价格下跌、多头因逐日盯市而支付损失或补足保证金时，往往可按较低利率融资；相关性不是每次波动都同向的保证。相比之下，传统到期结算远期没有这组逐日损益再投资、融资现金流；这不表示远期价格或合约价值完全不受利率影响，也不能直接套用于有每日保证金结算的远期。因此,期货多头比远期多头
更具吸引力 ,期货价格自然就大于远期价格。相反，在相应的典型负相关情形下，远期价格高于期货价格。除了与利率的相关关系，两种价格还会受到合约有效期长短、税收、交易费用、保证金处理方式、违约风险、流动性等因素的影响。不过,在现实市场中,期货价格和远
期价格的差异往往可以忽略不计。因此,在大多数情况下 ,我们仍可以合理地假定远期价格与
期货价格相等,基于此,本文在后续的介绍中将以远期合约的定价来进行分析。

( 三 )无套利分析法的基本思路及基本假设

【原书勘误】使新签远期合约初始价值为零的交割价格称为远期理论价格。在下述无摩擦、可复制等假设下，若同一时点、同一到期日和条款、零首付款的新签远期可成交报价偏离理论价格，就有套利机会。旧合约原交割价与当前理论价不同，通常只是形成旧头寸的非零公允价值，本身并不构成免费套利。在上述假设和新签合约条件下，若交割报价高于远期理论价格，套利者可借入资金买入标的资产现货，同时卖出远期，待交割后偿还融资并取得无风险利润；这一行为促使现货价格上升、远期报价下降，直至套利机会消失。若交割报价低于理论价格，则可卖空现货并投资所得资金，同时买入远期，到期以资产归还借入的现货，取得无风险利润；相应交易促使现货价格下降、远期报价上升，直至套利机会消失。

基于上面的分析,可以得知,在无套利机会的情况下,远期理论价格等于远期实际价格。为此,在对远期定价的过程中,无套利分析法是最为主要的分析方法。其具体过程如下 : 构建两种投资组合,让两者的终值相等,如果终值相等,其现值一定相等。如果现值不相等的话,则会出现套利机会,即卖出现值较高的投资组合,买入现值较低的投资组合,并持有到期末,套利者就可以赚取无风险收益。套利者的行为会使现值较高的投资组合价格下降,较低现值的投资组合价格上升,最终使两者的现值相等。

【范围辨析】现实交易可能有税费、融资和卖空限制等摩擦；表面价差不足以覆盖费用时，未必存在可实施的套利。应把费用和限制计入无套利条件，不能说无套利分析本身失效，也不能把交易摩擦与市场不完备混为一谈。为便于基础分析，本节作如下假设：

(1) 没有交易费用和税收；

(2) 市场参与者能够以相同的无风险利率借入和贷出资金；

(3) 远期合约没有违约风险；

(4) 允许现货卖空行为；

(5) 当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，计算出的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格；

(6) 期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率，这就意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和空头地位。

为方便分析,此处给出远期价格分析中的基本参数和符号。

T：远期和期货合约的到期时间，单位为年；t：现在的时间，单位为年。变量 T 和 t 是从合约生效之前的某个日期开始计算的，T - t 代表远期和期货合约中以年为单位的剩下的时间；S：标的资产在 t 时的价格；S_T：标的资产在 T 时的价格（在 T 时之前这个值是未知的）；K：远期合约的交割价格；f：远期合约在 t 时的价值；F：t 时远期合约和期货合约中标的资产的远期理论价格和期货理论价格，在本书中，如无特别注明，我们分别简称为远期价格和期货价格；r：T 时到期的以连续复利计算的 t 时的无风险利率。

( 四 ) 无收益资产远期价格

无收益资产是指在到期日前不产生现金流的资产,如贴现债券。针对标的资产为无收益资产的情形,我们可以构建如下两个组合。

组合 A：一份远期合约多头，加上金额为 Ke^{-r(T-t)} 的现金。

组合 B: 一单位标的资产。

在组合 A 中，Ke^[-r(T-t)] 的现金可以以无风险利率进行投资，投资期为 T - t，待到 T 时，其金额将达到 K，这是因为按照复利计算，Ke^[-r(T-t)]·e^[r(T-t)] 正好等于 K，同时组合 A 还有一份在 T 时交割价格为 K 的远期合约，在履约后组合 A 变为 1 单位标的资产，与组合 B 完全一样。因此，根据无套利的原则 ,这两种组合的价值必须相等,即:

f + Ke^[-r(T-t)] = S　（7-51）

由于远期价格（F）就是使远期合约价值（f）为零的交割价格（K），即当 f = 0 时，K = F。将这两个条件代入公式(7-51 ),可得:

F = Se^[r(T-t)]　（7-52）这就是无收益资产的现货 - 远期平价定理,或称现货期货平价定理。公式(7-52 )表明，对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值。(五 )支付已知现金收益资产的远期价格支付已知现金收益资产是指在到期前会产生完全可预测的现金流的资产,如附息债券和支付已知现金红利的股票。令已知现金收益的现值为 I，我们可以构建如下两个组合。组合 A：一份远期合约多头加上金额为 Ke^[-r(T-t)] 的现金。组合 B：一单位标的资产加上现值为 I 的负债。组合 A 在 T 时的价值为一单位的标的资产。在组合 B 中，在 t 到 T 时，标的资产会产生现值为 I 的现金流，与此同时，组合 B 又包含了 1 个现值为 I 的负债。因此，在 T 时，组合 B 的价值同样为一单位标的资产。在无套利分析的理论下，t 时两组合的价值相等，即：f + Ke^[-r(T-t)] = S - I　（7-53）根据远期价格（F）的定义，公式（7-53）可以转化得到支付已知现金收益资产的远期价格:

F = (S - I)e^[r(T-t)]　（7-54）

公式(7-54 )表明,支付已知现金收益资产的远期价格等于标的资产现货价格与现金收益现值差额的终值。

( 六 )支付已知收益率资产的远期价格

支付已知收益率资产是指在到期前将产生与该资产现货价格成一定比率的收益的资产。外汇是这类资产的典型代表,其收益率就是该外汇发行国的无风险利率。股价指数也可以近似地看作是支付已知收益率资产。因为虽然各种股票的红利收益率是可变的,但作为反映市场整体水平的股价指数,其红利收益率是较易预测的。

为了给支付已知收益率资产的远期定价，我们构建如下两个组合。

组合 A：一份远期合约多头，加上金额为 Ke^{-r(T-t)} 的现金。

组合 B：e^[-q(T-t)] 单位标的资产并且将所有收入都再投资于该资产，其中 q 为该资产按连续复利计算的已知收益率。

组合 A 在 T 时的价值为一单位的标的资产。组合 B 在 T 时，正好拥有一单位标的资产。在无套利分析的理论下，t 时两组合的价值相等，即：

f + Ke^[-r(T-t)] = Se^[-q(T-t)]　（7-55）根据远期价格（F）的定义，可以进一步推算出支付已知收益率资产的远期价格：F = Se^[(r-q)(T-t)]　（7-56）

公式(7-56 )表明 ,支付已知收益率资产的远期价格等于按无风险收益率与已知收益率之差计算的现货价格在 T 时的终值。

(一 )期权合约的盈亏分布

1. 欧式看涨期权的盈亏分布

假设甲向乙购买了 10000 份标的资产为 50ETF、约定成交价格为 3 元的欧式看涨期权，期权价格为每份 0.2 元,期权费支出为 2000 元。在期权合约到期日,甲乙双方的盈亏分布有以下几种情况。

(1) 如果期权到期时，50ETF 的价格低于 3 元，那么甲行权无利可图，因此甲会选择不

行权,其会损失 2000 元的期权费,由于没有进一步交易,乙方的收益为期初的 2000 元期权费。

(2) 如果期权到期时，50ETF 的价格等于 3.2 元，那么甲即可通过行权，以每份 3 元的价格向乙购买 10000 份 50ETF，并在市场上以 3.2 元的价格卖出，该笔 50ETF 的交易收益为 2000元。甲在期初支付了 2000 元的期权费,因此,甲实现了盈亏平衡。对于乙而言,虽然其在期初获得了 2000 元的期权费，但是，以每份 3 元的价格卖给甲 50ETF 会让其亏损 2000 元，因此，乙也处于盈亏平衡的状态。

(3) 如果期权到期时，50ETF 的价格超过了 3.2 元，甲就可以实现净盈利。例如，价格上升至每份 3.5元,那么甲可以通过行权,获得每份 0.5 元的收益,总计 5000 元,扣除 2000元期权费,净收益为 3000 元。而对于乙而言 ,其以每份低于市场价 0.5 元价格卖出,会让其在50ETF 交易中亏损 5000 元,但是 2000 元的期权费会让其净损失减为 3000 元。

从上面的分析可以看出,期权交易双方的盈亏分布具有零和性,即一方的亏损是另一方的收益。对于欧式看涨期权的持有者而言，其是否行权，主要取决于标的资产市场价格 S_T 是否超过了执行价格 X。如果标的资产市场价格超过了执行价格,期权持有者即可行权,并在标的资产交易上获取 S_T - X 的收益。如果执行价格高于标的资产市场价格，那么投资者可以在市场上买到更便宜的标的资产,因此不会行权,也就不会产生收益和亏损,此时期权持有者在标的资产交易上收益为 0。投资者的收益是一个分段函数，简单表示为 max(S_T - X, 0)。不过在期初购买期权的时候，投资者会支付一定的期权费 c，因此，看涨期权购买者的净收益为max(S_T - X, 0) - c，其盈亏分布如图 7-6 所示。由于期权交易具有零和性，看涨期权卖出方盈亏分布如图 7-7 所示。可以看到,期权的购买者以较小的期权费换来了较大盈利的可能性,而期权的卖出方则为了赚取期权费而冒着大量亏损的风险。

图 7-6 看涨期权购买者盈亏分布：纵轴为买方盈亏，横轴为标的资产价格；执行价格为 X，盈亏平衡点为 X + c，最大损失为期权费 c，净收益为 max(S_T - X, 0) - c。图 7-7 看涨期权卖出方盈亏分布：纵轴为卖方盈亏，横轴为标的资产价格；最大收益为期权费 c，净收益为 c - max(S_T - X, 0)。

2. 欧式看跌期权的盈亏分布

用同样的方法可以得到欧式看跌期权购买者和卖出方的盈亏分布,如图 7-8 和图 7-9 所
示。具体来看，对于欧式看跌期权的购买者而言，在到期时标的资产价格S_T低于执行价格X，行权有正的每单位支付；是否获得净利润还须扣除期权费。在到期时，若S_T<X，持有人可按市场价S_T买入标的资产，再按执行价格X卖给期权卖方，每单位行权支付为X−S_T（尚未扣除期权费）。如果标的资产市场价格超过了执行价格,期权购买者行权将无利可
图,因此会选择不行权,此时期权购买者在标的资产交易上的收益为 0。沿用本节忽略交易费用及期权费资金成本的盈亏图口径，每单位看跌期权到期支付为max(X−S_T,0)。期初支付期权费p后，买方净收益为max(X−S_T,0)−p，卖方净收益为p−max(X−S_T,0)。

图7-8 欧式看跌期权买方盈亏：沿用上述成本口径，图示X>p>0、S_T≥0。S_T<X时净收益为X−S_T−p；S_T≥X时为−p。盈亏平衡价为X−p，最大亏损为p，最大盈利为X−p（S_T=0时）。

图7-9 欧式看跌期权卖方盈亏：沿用上述成本口径，图示X>p>0、S_T≥0。S_T<X时净收益为p−(X−S_T)；S_T≥X时为p。盈亏平衡价为X−p，最大盈利为p，最大亏损为X−p（S_T=0时），不是无限亏损。

( 二 )金融期权的价值结构

期权费也可称为期权价格.期权的权利金,是指期权交易中的价格,即购买期权的一方为
自己获得的买入标的资产或卖出标的资产的权利预先支付给期权卖方的费用。期权费由两部
分构成: 内在价值和时间价值。

1. 内在价值

内在价值按假设立即行权的有利支付计算：看涨为max(S−X,0)，看跌为max(X−S,0)，均不小于0；这里的计算口径不表示欧式期权可以提前行权。对于看涨期权来
说,内在价值相当于标的资产现价高于执行价格的差额; 而对于看跌期权来说,内在价值相当
于执行价格高于标的资产现价的差额。根据标的资产现价与执行价格的关系，期权可以分为实值期权、平价期权和虚值期权；平价与虚值的内在价值都为0，但两者不是同一状态。其中,实值期权具有内在价值,如标的资产现价高于执行价格的看涨期
权和标的资产现价低于执行价格的看跌期权; 平价期权是指执行价格与标的资产现价相等的
期权 ,无论是看涨期权,还是看跌期权,此时期权的内在价值为零; 虚值期权无内在价值,在此

价格下 ,期权持有者不会行权,如标的资产现价高于执行价格的看跌期权和标的资产现价低于执行价格的看涨期权。

例如，执行价格为2.4元的50ETF看涨期权，标的现价2.5元时，每份内在价值为max(2.5−2.4,0)=0.1元，处于实值；现价2.4元时为平价，内在价值为0；现价2.3元时为虚值，内在价值仍为0。这是按假设立即行权的有利差额计算，不代表欧式合约实际允许提前行权，也未扣除期权费来计算净利润。

2. 时间价值

时间价值是指期权费减去内在价值部分以后的余值。【原书勘误】不能说所有期权的期权费都严格高于内在价值。例如某些深度实值欧式看跌期权的价格低于内在价值，时间价值为负；到期时，按本节有利行权支付定价，时间价值为0。例如, 50ETF 的市场价格为 2.5 元时，
执行价格为 2.4元的50ETF 看涨期权的期权费为 0.3 元,该期权的内在价值为 0.1元,时间价
值就为 0.2元。

【范围辨析】期权价格还反映剩余期限内的选择机会、波动及利息等因素，不能用“所有卖方亏损无限”来解释时间价值。忽略费用及期权费资金成本，标的价格非负、执行价X>p>0时，裸卖看跌的最大亏损为X−p，最大盈利为p；标的价格无上限时，裸卖看涨才可能发生无上限的亏损。

比较期限必须先区分行权方式。其他条款、标的现价等条件不变时，较长期限的美式期权包含较短期限的全部行权机会，价值不低于后者。欧式期权只有各自到期日的行权机会，期限与价格没有无条件的统一正向关系；无股息的深实值欧式看跌期权也可能随期限延长而降价。时间价值衰减通常描述其他条件不变时，正的时间价值随到期临近而减少；这不是所有期权都成立的单调规律，负时间价值的欧式看跌期权也可能向0回升。在其他条件不变时，平值附近期权的时间价值通常在临近到期时加速衰减；不同虚实程度的期权不能一概而论。到期时，期权的时间价值为0。

( 三 )影响期权价格的因素

期权价格的影响因素主要如下 ,它们可以通过影响期权的内在价值和时间价值来影响期权的价格。

1. 标的资产的市场价格与期权的执行价格

在有利行权时，看涨期权的每单位行权支付为S_T−X，尚未扣除权利金。在本节普通期权模型、其他条件不变时，标的现价提高或执行价降低，对看涨期权价格有正向（非减）影响。

在有利行权时，看跌期权的每单位行权支付为X−S_T，尚未扣除权利金。在本节普通期权模型、其他条件不变时，标的现价降低或执行价提高，对看跌期权价格有正向（非减）影响。

2. 期权的有效期

对于美式期权，在其他条款及市场条件相同、只延长到期日时，较长期限包含较短期限的全部行权机会，因此较长期限期权的价值不低于较短期限期权；不一定严格更高。

对于欧式期权而言,它只能在期末执行,有效期长的期权不一定包含有效期短的期权的所有执行机会,这就使欧式期权的有效期与期权价格之间的关系较为复杂。例如,同一股票的两份欧式看涨期权,一份有效期为 1个月,另一份有效期为2个月,假定在6周后标的股票将有大量红利支付,由于支付红利会使股价下降,在这种情况下,有效期短的期权的价格甚至会大于有效期长的期权的价格。

【原书勘误】在无红利、非负无风险利率及本节标准无套利模型下，其他条件不变时，欧式看涨期权价值随期限延长不减；欧式看跌期权没有同样的保证。例如S=50、X=100、r=5%、σ=20%的无股息欧式看跌，剩余0.25年约值48.75778，1年约值45.12534，较长期限反而价格更低。

应注意到，在其他条件不变时，平值附近期权的时间价值增幅通常随剩余期限延长而递减，这体现了此类期权的边际时间价值

递减现象。换句话说，对于到期日确定、处于平值附近的期权，在其他条件不变时，临近到期的时间价值衰减通常会加快。这意味着，对处于平值附近的期权，在其他条件不变时，同样长度的时间流逝通常使短期期权损失更多的时间价值。

3. 标的资产价格的波动率

波动率衡量标的价格变动的不确定性。在本节普通期权定价模型、其他条件不变时，波动率提高对看涨、看跌期权价格均有正向影响；不能把这一结论无条件推广到所有分布变化或障碍等奇异期权。普通期权买方在本节成本口径下的最大亏损为已付期权费，但看跌期权的盈利并非无上限。

4. 无风险利率

在本节普通期权模型中，固定标的现价、执行价、剩余期限、波动率等其他条件，无风险利率上升会降低按该利率贴现的执行价格现值，对看涨期权价格有正向影响、对看跌期权价格有反向影响。这里比较的是利率单独变化，不是现实加息时其他市场价格一起变化的综合结果。

5. 红利支付

因为标的资产分红付息等将减少标的资产的价格 ,而执行价格并未进行相应调整,所以在期权有效期内标的资产产生收益将使看涨期权价格下降 ,而使看跌期权价格上升。

期权价格的影响因素与期权价格变化见表 7-3。

表 7-3　期权价格的影响因素与期权价格变化

影响因素	欧式看涨期权	欧式看跌期权	美式看涨期权	美式看跌期权
标的资产市场价格	+	−	+	−
期权的执行价格	−	+	−	+
到期期限（无红利支付、非负无风险利率，其他条件不变）	+	不确定	+	+
标的资产价格的波动率	+	+	+	+
无风险利率	+	−	+	−
红利支付	−	+	−	+

注：本表限本节普通期权模型，每次只改变所列因素，其他条件不变；“+”表示正向（非减）影响，“−”表示反向（非增）影响，“不确定”表示不能统一判断方向。红利行以执行价格未相应调整为前提。

(四) 布莱克-斯科尔斯期权定价公式

1973 年,布莱克和斯科尔斯在一定假设下 ,推导出了欧式期权定价的精确公式。推导布莱克 - 斯科尔斯期权定价公式所需的假设如下:

(1) 证券价格服从对数正态分布；

（2）在期权有效期内，无风险利率r和标的资产收益率的单位时间方差（方差率σ²）恒定，即模型中的波动率σ恒定；不是说随机收益率本身恒定；

(3) 标的资产可以被自由买卖，其既可以被卖空，也可以无限可分；

（4）市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；

(5) 金融资产在期权有效期内无红利及其他所得；

(6) 期权为欧式期权，即期权到期前不可行权；

(7) 不存在无风险套利机会；

(8) 证券交易是持续的；

(9) 投资者能够以无风险利率进行借贷。

基于上述假设，布莱克和斯科尔斯推导出欧式看涨期权的定价公式如下：

c_t = S·N(d₁) - X·e^[-r(T-t)]·N(d₂)　（7-57）

d₁ = [ln(S/X) + (r + σ²/2)(T - t)]/[σ√(T - t)]

d₂ = [ln(S/X) + (r - σ²/2)(T - t)]/[σ√(T - t)] = d₁ - σ√(T - t)

c_t 为看涨期权的价格；N(x) 为标准正态分布的累积概率分布函数；σ 为标的资产的波动率；T 和 t 分别代表合约截止日期和现在的日期，因此，T - t 表示期权合约剩余期限；r 为无风险利率，S 为标的资产现价，X 为期权的执行价格。从布莱克-斯科尔斯期权定价公式可以看出，看涨期权价格的影响因素包括标的资产现价、合约的执行价格、无风险利率、标的资产价格的波动率以及期权合约的剩余日期。需要注意的是,因为公式推导假设了标的资产在期权有效期内无红利支付,所以红利支付的影响因素并没有体现在布莱克 - 斯科尔斯期权定价公式中。

(五) 看涨看跌期权平价关系

以上仅给出了欧式看涨期权的定价公式,而欧式看跌期权的定价公式需要基于无套利分析方法构建两个组合。

组合 A：一份欧式看涨期权，加上面值为期权执行价格 X 的零息债券；

组合B: 一份有效期和执行价格与组合 A 看涨期权相同的欧式看跌期权,加上一单位的标的资产。

在期权合约到期时，组合 A 期权的价值为 max(S_T - X, 0)，零息债券的价值为 X，因此，总价值为 max(S_T - X, 0) + X = max(S_T, X)。组合 B 中看跌期权的价值为 max(X - S_T, 0)，标的资产的价值为 S_T，因此，组合 B 的总价值为 max(X - S_T, 0) + S_T = max(S_T, X)。因此，组合 A 与组合B 的终值相等，那么根据无套利分析方法，其在 t 时的价值也相等，即：

c_t + Xe^[-r(T-t)] = p_t + S　（7-58）

其中，c_t 为看涨期权的价格，p_t 为看跌期权的价格，S 为 t 时标的资产的市场价格。

这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系。根据此平价关系,将公式(7-57 )代入公式(7-58 ),即可得到欧式看跌期权的价格。

p_t = X·e^[-r(T-t)]·N(-d₂) - S·N(-d₁)　（7-59）

需要指出的是,在现实的交易市场中,除了欧式期权,还存在着各种各样类型的期权,其中,很多期权的定价并没有一个精确的公式,如部分奇异期权 .美式看跌期权等。针对这些期权,可以采用蒙特卡罗模拟法、二叉树模型和有限差分法三种数值方法来近似求出。